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中考数学之圆

朝凤说教育2018-06-19 09:37:48

、圆的基本性质

1.1圆的定义

·在平面内,和某一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆周,简称为圆;其中定点叫做圆的圆心,廉结圆心与圆上任意一点的线段叫做半径

·同圆的半径都相等

·连结圆上任意两点的线段叫做这个圆的弦,通过圆心的弦叫做直径

·圆上任意两点间的部分叫做弧

·圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧

·由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形

·两个圆全等的充要条件是两个圆的半径相等

·半径相等的圆叫做等圆,同圆或等圆的半径相等

【圆的对称性】

圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。(圆的中心对称性: 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。)

1.2不共线的三点确定一个圆

·经过一点可以作无数个圆

·经过两点也可以作无数个圆,且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上

·定理:过不共线的三个点,可以作且只可以作一个圆

·推论:三角形的三边垂直平分线相交于一点,这个点就是三角形的外心

·三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心

【过三点的圆】

1)过三点的圆:不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2)三角形的外接圆:经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3)三角形的外心:三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心。

4)圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件): 圆内接四边形对角互补。

1.3垂径定理

·圆是中心对称图形;圆心是它的对称中心

·圆是周对称图形,任一条通过圆心的直线都是它的对称轴

·定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且评分弦所对的两条弧

·推论1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧

·推论2:弦的垂直平分弦经过圆心,并且平分弦所对的两条弧

·推论3:平分弦所对的一条弧的直径,垂直评分弦,并且平分弦所对的另一条弧

1.4弧、弦、弦心距和圆心角

·弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。

·直径:经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的2倍。

·半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。

·弧、优弧、劣弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。弧用符号“⌒”表示,读作“圆弧AB”或“弧AB”;大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)

·圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角。

·弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距。

·弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦想等,所对的弦的弦心距相等。推论:在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

二、点和圆的位置关系

⊙O的半径是r,点P到圆心O的距离为d,则有:d<róP在⊙O内;d=róP在⊙O上;d>róP在⊙O外。

三、圆与直线的位置关系

3.1圆与直线的位置关系

①相离:如果一条直线和一个圆没有公共点,我们就说这条直线和这个圆相离

②相切:如果一条直线和一个圆只有一个公共点,我们就说这条直线和这个圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做它们的切点

③相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点;

——如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么直线l与⊙O相交d<r;直线l与⊙O相切〓d=r;直线l与⊙O相离〓d>r;

·定理:经过圆的半径外端点,并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线

·定理:圆的切线垂直经过切点的半径

·推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

·推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

3.2三角形的内切圆

·内切圆:如果一个多边形的各边所在的直线,都和一个圆相切,这个多边形叫做圆的外切多边形,这个圆叫做多边形的内切圆

·内心(定理):三角形的三个内角平分线交于一点,这点是三角形的内心

·三角形一内角评分线和其余两内角的外角评分线交于一点,这一点叫做三角形的旁心.以旁心为圆心可以作一个圆和一边及其他两边的延长线相切,所作的圆叫做三角形的旁切圆

3.3切线长定理

·定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

3.4圆的外切四边形

·定理:圆的外切四边形的两组对边的和相等

·定理:如果四边形两组对边的和相等,那么它必有内切圆

四、圆与圆的位置关系

4.1两圆的位置关系

①如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,相离分为外离和内含两种。

②如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两种。

③如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交。

·圆心距:两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距

·定理:两圆的连心线是两圆的对称轴,并且两圆相切时,它们切点在连心线上

·圆和圆位置关系的性质与判定:两圆外离 d>R+r;两圆外切 d=R+r;两圆相交d= R-r;两圆内切 d=R-r (R>r);两圆内含d<R-r;特殊情况,两圆是同心圆 d=0

·两圆相切、相交的重要性质:如果两圆相切,那么切点一定在连心线上,它们是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线;相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

4.2两圆的公切线

·定理:两圆的两条外公切线的长相等;两圆的两条内公切线的长也相等。

【圆周角定理及其推论】

1)圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2)圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

·推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。

·推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。

·推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。

 五、正多边形和圆的关系

5.1正多边形和圆

1)正多边形的定义:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。

2)正多边形和圆的关系:只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以做出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆。

5.2与正多边形有关的概念

1)正多边形的中心:正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2)正多边形的半径:正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

3)正多边形的边心距:正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

4)中心角:正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

5.3正多边形的对称性

1)正多边形的轴对称性:正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心。

2)正多边形的中心对称性:边数为偶数的正多边形是中心对称图形,它的对称中心是正多边形的中心。

3)正多边形的画法:先用量角器或尺规等分圆,再做正多边形。

 

 

--切线长定理

(直线与圆的位置关系)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 

【证明】PAPBO相切,点AB是切点,OAPAOBPB  OAP=OBP=90°,∵ OA=OBOP=OPRtAOPRtBOP(HL) PA = PBOPA=OPB

 

切线6个性质:

1、切线和圆只有一个公共点;

2、切线和圆心的距离等于圆的半径;

3、切线垂直于过切点的半径;

4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点;

5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

6、从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

 

【内切圆计算练习题】

1、一个三角形有且只有一个内切圆;

2、一个圆有无数个外切三角形;

3、三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点;

4、三角形的内心到三角形三边的距离相等。

【例1ABC的内切圆OBCCAAB分别相切于点DEF,且AB=225pxBC=350pxCA=325px,求AFBDCE的长.

 

【解答】∵⊙OABC的三边都相切,AFAE,BDBF,CECD,设AF=xBD=yCEz,则xy9yz14xz13,解得x=4y=5z=9

 

【例2ABC的内切圆的半径为rABC的周长为l,求ABC的面积S.

 

【解答】设ABC的内切圆与三边相切于DEF,连结OAOBOCODOEOF,则ODABOEBCOFACSABCSAOBSBOCSAOC(AB·OD)/2(BC·OE)/2(AC·OF)/2=(l·r)/2,设ABC的三边为abc,面积为S,则ABC的内切圆的半径 r2S/(a+b+c)

 

【例3RtABC中,C90°,BCaACbABcORtABC的内切圆。                                        求:RtABC的内切圆的半径 r.

【解答】设RtABC的内切圆与三边相切于DEF,连结ODOEOFOAACOEBCOFAB∵⊙ORtABC的三边都相切,ADAFBEBFCECD,设AD= x , BE= yCEr,则有xrbyraxyc,解得r=(a+b-c)/2r=ab/(a+b+c)

【例4RtABC中,C90°,BC3,AC4, ORtABC的内切圆.1)求RtABC的内切圆的半径;(2)若移动点O的位置,使O保持与ABC的边ACBC都相切,求O的半径r的取值范围。

【解答】(1)设RtABC的内切圆与三边相切于DEF,连结ODOEOFOAACOEBCOFAB。在RtABC中,BC3,AC4, AB5∵⊙ORtABC的三边都相切,ADAFBEBFCECD,由已知可得四边形ODCE为正方形,CDCEOD,设AD=xBE=yCEr,则有xr4yr3xy5,解得r=1.

2)设与BCAC相切的最大圆与BCAC的切点分别为BD,连结OBOD,则四边形BODC为正方形。OBBC3∴半径r的取值范围为0r3


--垂定理及推论

一、基础知识点

1)垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧;

①推论1:

·平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。

·弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。

·平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。

②推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。

二、经典例题与解析

【例1】 △ABC中,AC=6,BC=8,∠C=90°,以点C为圆心,CA为半径的圆与AB交于点D,求AD的长.

【解析】作CH⊥AB,垂足为H ∵∠C=90°,AC=6,BC=8∴AB=10∵∠C=90°,CH⊥AB∴AC²=AH⊥AB又∵AC=6, AB=10∴AH=3.6∵CH⊥AB∴AD=2AH∴AD=7.2答:AD的长为7.2.圆中有关弦的计算问题通常利用垂径定理构造直角三角形求解,所以作CH⊥AB,这只要求出AH的长就能得出AD的长.解决与弦有关的问题,往往需要构造垂径定理的基本图形——由半径、弦心距、弦的一半构成的直角三角形,它是解决此类问题的关键.定理的应用必须与所对应的基本图形相结合,同学们在复习时要特别注重基本图形的掌握.

【例2】如图,已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E,连结AD、BD、OC、OD,且OD=5.①若sin∠BAD=3/5,求CD的长.①若∠ADO:∠EDO=4:1,求扇形OAC(阴影部分)的面积(结果保留π).

【解析】图形中有 “直径对直角”,这样就出现了“直角三角形及斜边上的高”的基本图形,求CD的长就转化为求DE的长.第(2)小题求扇形OAC的面积其关键是求∠AOD的度数,从而转化为求∠AOD的大小.

①∵AB是⊙O的直径,OD=5∴∠ADB=90°,AB=10又∵在Rt△ABD中,sin∠BAD=BD/AB=3/5∴BD=6∵∠ADB=90°,AB⊥CD∴BD2=BE·AB∵AB=10,BD=6∴BE=18/5在Rt△EBD中,由勾股定理得DE=24/5∴CD=2DE=48/5答:CD的长为48/5.②∵AB是⊙O的直径,AB⊥CD∴∠BAD=∠CDB,∠AOC=∠AOD∵AO=DO∴∠BAD=∠ADO∴∠CDB=∠ADO设∠ADO=4k,则∠CDB=4k∵∠ADO+∠EDO+∠EDB=90°∴4k+4k+k=90°得k=10°∴∠AOD=180°-(∠OAD+∠ADO)=100°∴∠AOC=∠AOD=100°所以扇形的面积是125/18π

【例3】半径为2.5的⊙O中,直径AB的不同侧有定点C和动点P.已知BC :CA=4 : 3,点P在半圆AB上运动(不与A、B两点重合),过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点Q.①当点P与点C关于AB对称时,求CQ的长;②当点P运动到半圆AB的中点时,求CQ的长; ③当点P运动到什么位置时,CQ取到最大值?求此时CQ的长.

【解析】①当点P与点C关于AB对称时,CP⊥AB,设垂足为D.∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°∴AB=5,AC:CA=4:3∴BC=4,AC=3SRt△ACB=1/2AC·BC=1/2AB·CD∴CD=12/5,PC=24/5∵ 在Rt△ACB和Rt△PCQ中, ∠ACB=∠PCQ=90°,∠CAB=∠CPQ∴ Rt△ACB∽Rt△PCQ∴AC/PC=BC/CQ∴CQ=BC·PC/AC=4/3PC=32/5②当点P运动到弧AB的中点时,过点B作BE⊥PC于点E(如图).

∵P是弧AB的中点,∴∠PCB=45°,CE=BE=2√2又∠CPB=∠CAB∴∠CPB= tan∠CAB=4/3∴PE=3√2/2从而PC=PE+EC=7√2/2由①得,CQ=4/3PC=14√2/3③点P在弧AB上运动时,恒有CQ=BC·PC/AC=4/3PC故PC最大时,CQ取到最大值.当PC过圆心O,即PC取最大值5时,CQ 最大值为20/3

 

 

--弧长和扇形面积

一、基础知识点

1)弧长公式:n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l=nπ/180°

2)扇形面积公式:S扇 =πR²n/360°=lR/2(其中n是扇形的圆心角度数,R是扇形的半径,l是扇形的弧长。)

3)圆锥的侧面积:S=2πRl/2=πrl(其中l是圆锥的母线长,r是圆锥的地面半径。)

 二、经典例题与解析

【例1】如图,这是一个由圆柱体材料加工而成的零件,它是以圆柱体的上底面为底面,在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的,其底面直径AB=300px,高BC=200px,求这个零件的表面积.(结果保留根号)

【解析】这个零件的底面积=36πm2这个零件的外侧面积=96πcm2  圆锥母线长OC=250px  这个零件的内侧面积=1/2π×10=60πm2,∴这个零件的表面积为:36π+96π+60π=192πcm2

【例2】如图,O是圆柱形木块底面的圆心,过底面的一条弦AD,沿母线AB剖开,得剖面矩形ABCD,AD=600px,AB=625px,若AmD的长为底面周长的2/3,如图所示:

①求⊙O的半径;②求这个圆柱形木块的表面积.(结果可保留根号)

【解析】①连结OA、OD,作OE⊥AD于E,易知∠AOD=120°,AE=300px,可得AO=8√75px  ②圆柱形木块的表面积=2S圆+S圆柱侧=(384π+400√3π)cm2

 

 

 

--切线的判定和性质

一、基础知识点

1)切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2)切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。

二、经典例题及解析

【例1】①如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,∠CAE=∠B,试说明AE与⊙O相切于点A.②在①中,若AB为非直径的弦,∠CAE=∠B,AE还与⊙O相切于点A吗?请说明理由.

 

【解析】第①小题中,因为AB为直径,只要再说明∠BAE为直角即可.第小题中,AB为非直径的弦,但可以转化为第①小题的情形.①∵AB是⊙O的直径∴∠C=90°∴∠BAC+∠B=90°又∵∠CAE=∠B∴∠BAC+∠CAE =90°即∠BAE =90°∴AE与⊙O相切于点A.②连结AO并延长交⊙O于D,连结CD.∵AD是⊙O的直径∵∠ACD=90°∴∠D+∠CAD=90°又∵∠D=∠B∴∠B+∠CAD=90°又∵∠CAE =∠B∴∠CAE+∠CAD=90°即∠EAD =90°∴AE仍然与⊙O相切于点A. 本题主要考查切线的识别方法.渗透了“由特殊到一般”的数学思想方法,这对于学生的探索能力的培养非常重要.

【例2】如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,∠OAB=30°①求∠APB的度数;②当OA=3时,求AP的长. 

 

【解析】①∵在△ABO中,OA=OB,∠OAB=30°,∴∠AOB=180°-2×30°=120°,∵PA、PB是⊙O的切线,∴OA⊥PA,OB⊥PB,即∠OAP=∠OBP=90°∴∠AOB+∠APB=180°∴∠APB=60°②如图,作OD⊥AB交AB于点D,∵在△OAB中,OA=OB,∴AD=1/2AB,∵在Rt△AOD中,OA=3,∠OAD=30°,∴AD=OA·cos30°=3√3/2,AP=AB=3√3

【例3】在△ABC中,∠C=90°,以BC上一点O为圆心,以OB为半径的圆交AB于点M,交BC于N.点①求证:BA·BM=BC·BN;②如果CM是⊙O的切线,N为OC的中点,当AC=3时,求AB的值.

  

【解析】①连接MN则∠BMN=90°=∠ACB,∴△ACB∽△NMB,∴BC/BM=AB/BN,∴AB·BM=BC·BN ;②连接OM,则∠OMC=90°,∵N为OC中点,∴MN=ON=OM,∴∠MON=60°,∵OM=OB,∴∠B=1/2∠MON=30°.∵∠ACB=90°,∴AB=2AC=2×3=6

【例4】如图,△ABC内接于⊙O,点D在OC的延长线上,sinB=1/2 AD=30°.①求证:AD是⊙O的切线;②若OD⊥AB,BC=5,求AD的长.

  

【解析】①如图,连结OA,因为sinB=1/2,所以∠B=30°,故∠O=60°,又OA=OC,所以△ACO是等边三角形,故∠OAC=60°,因为∠CAD=30°,所以∠OAD=90°,所以AD是⊙O的切线;②因为OD⊥AB,所以OC垂直平分AB,则AC=BC=5,所以OA=5,在△OAD中,∠OAD=90°,由正切定义,有tan∠AOD=AD/OA,所以AD=5√3。