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第2次九年级数学月考剖析一之《圆》三题 · 杂谈

朱校华杂谈初中数学2018-06-19 13:26:59

29020171112作品·2次九年级数学月考剖析一

《圆》三题 · 杂谈

(秦中 朱校华 原创)

本次月考数学卷上使用的《圆》章题主要有三道大题(填空与选择题暂略去),分别是一道3分的小证明题、一道6分用“无刻度直尺”来作图的中考样式作图题与一道8分小综合题。

这三道题分别是三个代表”:

3分的第13(2)题是代表圆中推理证明离不开弧的参入;

6分的第16题是代表中考作图趋向需充分利用性质解决;

8分的第20题是代表圆中基础知识小综合活用解决问题.

本文就此渗透数学“三个代表”思想杂谈相关系列问题.

一、有用的结论 熟!

解决数学问题最基本的策略是对学过的有用的结论要熟练.

学过的知识不易遗忘,这是一位学生持续进步的最低要求.

数学知识不需去死记,可以通过做题来理解应用加以掌握.

就像本次月考之第13(2)题来讲:

剖析

本题初看,发现题给条件中有“直径AB”想到顺口溜“见直径,想直角,顶点就在圆上边.”,连接AE,则AE⊥BC.

发现题给条件中有两条弧相等,立马想到同圆或等圆中,弧、弦、圆心角间关系”或者“圆周角定理的‘金’推论同弧或等弧所对的圆周角相等.”,知晓:∠CAE=∠BAE.

接下来借助于两个三角形全等,结论立明.搞定!

总结

本题涉及到的圆相关的定理或者有用的结论是要求平时都要掌握的,最起码是要记得住.否则做题就不会想到!

当然“顺口溜”的出现是一大转机,能极快地想到思路!

本题变式一

以圆O上任一点E为圆心作圆交圆O于点D、B,过点B作直径AB,连AD并延长交BE的延长线于点C.求证:AC=AB(或者求证:点E是BC的中点;或者求证:点B、C关于直线AE对称).

本题变式二

求证:以等腰三角形一腰为直径的圆一定平分底边.

特别地:以等边三角形一边为直径的圆,其它两边恰好把半圆进行了三等分.

本题变式三

△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC、BC的交点分别为点D、E,若AE正好是角平分线,且交CO于点G,已知AB=10,BD=6.试求出线段OG的长度?(本题6分)

套用一句“广告语”:没有记忆就没有第一!

“有用的结论 要 熟”讲的就是这个理。

二、题给的要求 明!

对于现在比较流行的使用“无刻度直尺”作图,学生不是很习惯.从我现场监考的情况来看,不少学生对于本次月考第16题作图题,使用了圆规在画图,显然连题意都没有搞清楚。

事实上,使用“无刻度直尺”作图必须积累如下经验

1.无刻度直尺的作用仅仅是过两点作直线或射线或线段;

2.过两点作直线(或射线或线段)必须充分利用题图性质

3.可以假设结果已出,反过来寻找作图需要的“后续点”.

剖析

看(1)题要作的是圆的直径,必先找到圆心.

想到圆的轴对称性质:任何一条过圆心的直线(或者任何一条直径所在的直线)均是圆的对称轴.

再看题给条件:AB∥CD,AB与CD又是两条弦.就图1中的位置来看:当AB与CD不相等时,四边形ABCD就是等腰梯形,这就意味着离不开等腰梯形的轴对称性过等腰梯形上、下两底中点所确定的直线是等腰梯形的对称轴(这条对称轴必经过两腰延长线的交点).于是寻找到AC与BD的交点G、同时延长DA与CB的交点H,再过点G、H作直线GH分别交圆于点E、F.则线段EF为所求作的圆的直径.

假如AB=CD,直接连接AC或BD即为圆的直径.就这题细节来讲:命题人是有小小纰漏的.应该增加限制条件是AB≠CD.

看(2)小题,变成了菱形ABCD,想到其众多性质,与本小题息息相关的是:AB=BC,AC⊥BD.这就想到要确定的圆心肯定落在直线BD上.我想能连出直线BD的可以给1分.

接下来的问题是:必须要再画出另外一条过圆心的直线,才能与直线BD相交得出圆心的具体位置.

此时有数学素养的学生立马想到:延长CD交圆于点E,四边形ABCE就是图1中的等腰梯形,仿照(1)题作图方法即可作得出过圆心的直线GH,于是GH与BD的交点即为所作的圆心O.

这种借力打力利用前题结论为后题提供思路指向服务”的做法值得每一位数学学习者珍藏之,是为能考上重点高中的必备素能之一,必须值得拥有并能活学巧用.

教育界有一句流行语:数学学得好的学生,其它学科不会很差,今后走上社会工作岗位之后的各方面表现不会太差.”。我想这句话主要指的是:学生数学处理问题时候的上面这种“借力打力”伎俩的其中某一个方面素能的体现好,实践证明亦真!

请看如下参考答案

没错,紧紧抓住三大经验是数学顺溜作图的法宝之一!

套用一句“广告语”:没有清明则没了思念!

“题给的要求 得 明”讲的就是这个理。 

三、有序的推导 练!

几何题一般“有图有真相”,“记已知·观图形·想结论”是基本技能之一,看到什么样的题图想到什么样的“基本图”(初中几何常规“基本图”有26幅,后续慢慢杂谈之)是素能

就拿本次月考第20题来讲:

剖析

有直角有垂直的弦,想到“垂径定理”基本图:出现弦心距两个组件.延长CE交圆O于点F,连AF.不就显示出了这幅基本图了嘛!于是∠1=∠F=∠2搞定.接下来“点C是弧ABD的中点”说明:弧相等,所对的圆周角相等,即∠CAD=∠2=∠1,从而AE=CE搞定,说明前后步骤的连续性很强,平常得多练。

至于第(2)小题涉及弦(或弦的一部分线段)的长度计算问题,常规顺口溜“弦与弦心距,亲密紧相连,勾股定理不等闲”一定用得上.可以看到:图中的OH实质上就是弦心距之一。

连接半径OC,在Rt△OCH中,“勾股数5、12、13”可以求得出CH=12.借助于第(1)小题得到的成果:AE=CE.

渗入方程思想”:不妨假设HE=x,在另一个Rt△AHE中,AH=AO+OH=18,AE=CE=EH+CH=x+12,列出一个含x的方程搞定!

总结

不管题图多么复杂,线条多么的多,看到“垂直”或“直角”或“圆中出现的直径”这么多带“直”字辈的数学名词,“直角三角形”那是一定有的,其性质那是“逃脱不掉的”,经验呀!

每一道考题,前后的“连贯性”是必须引起注重的。

平常学过的用过的想到的数学“四基”是顺利解决数学考题的必备基本功,“宝剑锋从磨砺出,成功源自勤悟来”没错!

套用一句“广告语”:没有秩序就没有推理!

“有序的推导 靠 练”讲的就是这个理。

    更多精彩留给读者们自行多多思考之,比方说变式、引申、归纳与拓展等.

    有道是:“只要多思考,一切皆美好.”真理也!